처음부터 하는 수학 & 물리학 2 - 각속도와 선속도(고전역학)

 

 

 

각속도(Angular Velocity) 와 각가속도(Angular Acceleration)

 

 

각속도(Angular Velocity)는 물체가 회전할 때 단위 시간 동안 회전한 각도를 나타내는 물리량이다. 각속도의 단위는 $rad/s$다. 방향도 포함되기 때문에 벡터(Vector)로 간주된다. 각속도 ($\omega$)는 각도 ($\theta$)를 시간 ($t$)에 대해 미분한 값이다. 각속도는 단위 시간당 회전한 각도의 변화를 나타낸다. 

 

 

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

 

 

각가속도(Angular Acceleration)는 단위 시간당 각속도의 변화를 나타낸다. 각속도를 한 번 더 미분한 값이다. 단위는 $rad/s^{2}$다.

 

$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}$

 

 

선속도 (Linear Velocity)

 

 

선속도는 원주를 따라 이동하는 물체의 직선 속도다. 단위는 $m/s$이다. 공식 $v = \omega \cdot r$은 물체가 회전 운동을 할 때의 선속도를 각속도와 반지름을 사용해 표현한 것이다. 각속도 $\omega$는 단위 시간당 회전한 각도다. 만약 물체가 $t$초 동안 $\theta$ 라디안 만큼 회전했다면 원주의 반지름 r 과 중심 각도 $\theta$를 이용해 호의 길이를 구할 수 있다. 

 

미소량의 각도가 정말 조금 변한 만큼 호의 길이는 직선에 가까워진다. 그 직선의 속도는 단위 시간당 호의 길이($l = r \theta$)가 늘어난 변화율이다. 

 

$\vec{v} = \frac{l}{t} = \frac{r \theta}{t} = r \omega$

 

여기에서 $\omega = \frac{\theta}{t}$는 $\omega$이고, $v = \omega \cdot r$이 성립한다. 이 선속도는 구심 가속도와 구심력과 연결된다. 구심력은 케플러의 법칙과 만나 만유인력의 법칙을 도출한다. 현재는 만유인력의 법칙이 일반상대성이론에 의해 포괄되어 특정 경우(지구?)에만 성립하는 것으로 밝혀져 있다.