처음부터 하는 수학 & 물리학 3 - 구심 가속도(고전역학)

 

<등속 원운동>

 

구심가속도(Centripetal Acceleration)

 
 
구심가속도는 원운동을 하는 물체가 원의 중심을 향해 작용하는 가속도다. 속도($m/s$)는 단위 시간당 이동한 거리의 변화율이고 가속도($m/s^{2}$)는 속도를 다시 한번 미분한 속도의 변화율이다. 원운동을 하는 물체의 속도 벡터가 $\vec{v_1}$에서 $\vec{v_2}$로 변할 때 벡터의 차이는 $\Delta \mathbf{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$이다. 등속원운동에서 $\vec{v_1},\; \vec{v_2}$의 속도는 동일하고 방향이 다르다. 속도 벡터는 각속도($\omega$)와 물체까지의 거리($r$)를 곱한 값이다($v = \frac{r \theta}{\Delta t} = r \omega \quad \text{[단위: m/s]}$). $v$벡터에서 각속도만큼 방향 변화가 생기므로 $a = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{v \Delta \theta}{\Delta t}$가 된다. 선속도($v = rw$)에 따라 이리저리 공식을 옮겨보면 아래와 같다.

 

$a = v \omega = r \omega^2,  \; a = \frac{v^2}{r}(\omega = \frac{v}{r})$

구심가속도 $a$와 질량($m$)을 곱하면 뉴턴의 유명한 $F = ma$ 공식이 된다. 등속원운동에서는 구심력을 구하는 데 사용된다. 이 식은 케플러의 법칙과 만나 만유인력의 법칙을 유도한다. 아인슈타인의 특수상대성이론은 패러데이와 맥스웰의 전자기장 방정식과 뉴턴역학과의 모순을 해결하려다 나왔다. 이후 일반상대성이론의 등가원리를 리만기하학으로 기술한 장 방정식이 등장했다.