도마와 칼, 아르키메데스의 원주율(π) 구하기와 샌드위치 정리(조임 정리, Squeeze Theorem)

<아르키메데스는 원에 내접하는 n각형과 외접하는 n각형의 둘레를 이용하여 π를 근사하였다. n이 커질수록 두 둘레는 점점 가까워지며, 무한대로 갈 때 π에 수렴한다.>

 
 

아르키메데스의 원주율(π) 구하기

 
 

 
 

 샌드위치 정리 (조임 정리, Squeeze Theorem)

 

< 샌드위치 정리 (조임 정리, Squeeze Theorem) >

 
 
원주율을 구하는 방법과 샌드위치 정리는 본질적으로 같다. 고등학교 수학에서도 이와 관련된 문제가 있다. 아래의 문제는 주어진 부등식에서 세 항이 모두 같아지는 특정한 k 값을 확인하면 이후 술술 풀린다.
 
이 상황을 그래프로 해석하면, 왼쪽의 1차함수 그래프(직선)와 오른쪽의 2차함수 그래프(포물선)가 어떤 지점에서 만난다. 그 사이에 낑겨 있는 함수는, 샌드위치 정리에 의해 그 지점에서 함수값이 특정된다.
이를 이용해 미지수를 연립하면 3차 함수 f(x)를 확정할 수 있다.
 
 

<2025학년도 고등학교 9월 모의고사 수학 21번 - 가운데 식은 도함수의 정의식을 활용해야 할 것처럼 생겼지만 위장이다.>

 
 
두 값 사이에 어떤 대상을 끼워 넣고, 양쪽 값을 점점 가까워지도록 조이면, 그 대상이 반드시 그 사이에 존재하게 되는 것은 필연적이다. 이 사실은 수학적으로도 완전히 엄밀하다.
 
전쟁에서는 배수의 진이나 망치와 모루 전술에 해당하고, 요리에서는 도마와 칼의 관계와 같다. 바둑에서는 협공 혹은 공격이다. 도마와 칼 사이에 재료를 두고 간격을 좁히면 원하는 기능이 수행된다. 외접한 다각형과 내접한 다각형이 차이를 점점 좁혀가면 남는 것은 π다.