[Python] 백준 - 11444 피보나치 수 6

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

 

피보나치 수열

 

 

1. 피보나치 수열은 수식으로는 복잡한 내용이 있는 것 같은데, 일단 앞 두 항을 계속해서 더해나가는 수열이라고 생각하자.

 

2. 코드로 피보나치 수열을 구하는 방법에는 여러 가지가 있는데, 이 문제는 입력으로 들어오는 수가 굉장히 크다. 반복문, 재귀함수, 메모이제이션 등의 방법(적어도 $O(n)$이다.)으로는 시간이 오래 걸린다.

 

1) 반복문 - $O(n)$

def fibo(n):
    a, b = 0, 1
    i = 0
    while i < n:
        a, b = b, a+b
        i += 1
    return a

 

2) 재귀함수 + 메모이제이션 - $O(n)$ (재귀함수만 사용했을 때는 중복계산이 많아, $O(2^n)$이다.)

memo = {}
def fibo(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    if n not in memo:
        memo[n] = fibo(n-2) + fibo(n-1)
    return memo[n]

 

3) DP - $O(n)$

def fibo(n):
    dp = [0, 1] + [0] * (n-1)
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = dp[i-2]+dp[i-1]
    return dp

print(fibo(10))

 

 

4) 앞서의 문제 행렬 제곱과 거듭제곱(분할정복)을 활용할 수 있다. - $O(logN)$

 

[Python] 백준 - 10830 행렬 제곱

- 행렬 제곱, 거듭제곱에 대한 문제 포스팅

 

<행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ 을 제곱하면 계속해서 피보나치 수열이 나온다.>

 

행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$  을 계속 제곱하면 위 그림처럼 피보나치 수열이 구해진다. (2 x 2)행렬을 계속 곱하는 게 공간을 낭비하는 게 아닌가 싶었는데, 필요한 값만 남겨 구현하게 되면 DP로 구현하는 것과 다를 바가 없고, 오히려 공간이 더 필요하게 된다. 거듭제곱(분할정복)만을 활용해서 하는 방법도 있을 것 같긴 하다.

 

3. 결국 위 행렬 제곱, 거듭제곱(분할정복)의 문제와 같다. - $O(logN)$

 

<거듭제곱이 분할되어 return된 값끼리 곱해주며 계속 return된다.>

 

 

- 코드

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input())
d = [[1, 1], [1, 0]]
p = 1000000007

def mul(a, b):
	res = [[0 for _ in range(2)] for _ in range(2)]
	for i in range(2):
		for j in range(2):
			t = 0
			for k in range(2):
				t += a[i][k]*b[k][j]
			res[i][j] = t % p
	return res

def pow(a, b):
	if b == 1:
		return a
	else:
		temp = pow(a, b//2)
		if b % 2 == 0:
			return mul(temp, temp)
		else:
			return mul(mul(temp, temp), a)

print(pow(d, n)[1][0])